Ciencia e hipótesis (Henri Poincaré)

Poincaré es uno de los personajes más interesantes de la ciencia en los últimos dos siglos. Este genial matemático hizo aportaciones en casi todas las ramas importantes de su disciplina, pero también a la física. Pero no meras aportaciones en el desarrollo matemático de teorías, sino que lo hacía de la manera de un físico. También estaba muy interesado en las cuestiones filosóficas de fundamento de las matemáticas así como del proceso de creación en la mente del matemático. Y además escribió bastante obras de divulgación de gran calidad. Una de ellas es precisamente la que reseño ahora.

Escrito en 1902 este libro es una revisión en clave de divulgación de los grandes temas de la matemática y la física de entonces. Es una referencia muy útil para quien quiera tener una idea de cuál era el paradigma dominante en el ámbito de la física de entonces. Pero su mayor interés está en que Poincaré expone en profundidad los problemas de fundamentos con que se encontraba la física clásica y en sus argumentos ya están presentes buena parte de las ideas que darían lugar a la relatividad especial. De hecho Poincaré desarrolló una teoría relativista muy similar a la de Einstein de forma simultánea.

También es interesante su revisión de la problemática de fundamentación de la matemática que ya estaba presente entonces como resultado de los avances de la disciplina. Y lo que no ha perdido interés es la interpretación convencionalista del espacio de Poincaré. Para él el espacio que se introduce en la física no es más que resultado de una convención, y no hay un criterio objetivo que permita establecer si una geometría euclídea es más verdadera que una no euclídea con espacios con curvatura. El desarrollo de la relatividad general introdujo esta discusión en el ámbito de la física y en este contexto los argumentos de Poincaré son más interesantes si cabe.

Este libro es un clásico de la ciencia, pero también de filosofía de la ciencia, que creo que nadie interesado en el tema debería de perderse. Tenemos la suerte, además, de que están apareciendo ediciones de algunas otras de sus obras de divulgación o libros que tratan del papel de Poincaré en el desarrollo de la relatividad. Es una buena excusa para acercarse a este genial matemático y físico francés.

El teorema de Gödel (Ernst Nagel y James R. Newman)

De vez en cuando me gusta comentar libros que pueden considerarse clásicos de la literatura científica contemporánea, en uno u otro campo. Este es uno de ellos, tanto por la época que fue escrito, hace ya cincuenta años, como por su contenido. Se trata, como indica el título, de un libro que trata de explicar al profano en lógica y matemáticas los famosos resultados de Kurt Gödel sobre los fundamentos de la matemática.

Lo que demostró Gödel es que hay teoremas matemáticos que son verdaderos que no pueden ser demostrados formalmente. Ahora bien cuando se habla de demostrar formalmente esto tiene un sentido técnico preciso y para ello hay que comprender los conceptos de consistencia y completitud en la demostración matemática. También que a ese tipo de demostración se le imponen ciertas restricciones (como por ejemplo que el número de pasos en la demostración sea finito). Los autores explican paso a paso todas estas cuestiones, explicando los problemas de fundamentos que dieron lugar al teorema de Gödel.

El libro es corto y se lee de un tirón, y ciertamente los autores van al grano en sus exposiciones, sin divagaciones o elucubraciones filosóficas. El comentario de los resultados de Gödel es breve y quizás en lo que más énfasis hacen es en una interpretación correcta de los resultados tratando de evitar el equívoco en el lector. Breves comentarios sobre el punto de vista adoptado por Gödel de un platonismo matemático como respuesta a su teorema y una pequeña reflexión sobre las implicaciones en el desarrollo de inteligencias mecánicas, ponen punto final a la exposición.

A mí no me convence para nada la postura filosófica de Gödel y me encuentro mucho más cómodo con la filosofía de las matemáticas de G.J. Chaitin, que precisamente se interesó por el tema del teorema (y sus aportaciones a la matemática guardan relación con él) tras leer este libro.

El círculo vicioso de las leyes de Newton

Las tres leyes de la mecánica de Newton forman un círculo vicioso. La primera ley define el movimiento inercial, y la segunda el concepto de fuerza, pero para lo segundo hay que recurrir al concepto de inercia que no puede estar bien definido si no se tiene previamente alguna noción de fuerza. Esto es un círculo vicioso, y es un problema mucho más profundo de lo que parece para la teoría newtoniana. En realidad no lo es tanto cuando la teoría se plantea desde una formulación variacional, pero al final esta última es completamente equivalente a las famosas tres leyes que hemos estudiado en la enseñanza secundaria.

Por lo tanto desde el punto de vista de la lógica y coherencia interna de la teoría se plantea un problema. Sobre todo a la hora de definir lo que es la masa inercial, aquella que se define como una propiedad opuesta al cambio de movimiento de los cuerpos. Ernst Mach era muy consciente de esta debilidad y trató de desarrollar una definición de masa que no recurriese a un concepto previo de fuerza, siendo esta última una magnitud derivada a posteriori. Aunque su teoría hay que englobarla dentro de un marco conceptual de la física peculiar, y que también trataba de explicar por qué esta definición de masa coincide con la de masa como fuente de gravedad. También era un problema que preocupaba a Henri Poincaré y en su magnífico ensayo La ciencia y la hipótesis dedicó un apartado a esta cuestión.

Einstein leyó tanto los trabajos de Mach, como el libro de Poincaré, de hecho el primero tuvo mucho que ver con sus primeras ideas para la construcción de la teoría relativista del campo gravitatorio. El segundo también debo de influirle a la hora de desarrollar su primera teoría de la relatividad, y realmente Poincaré casi desarrolló la misma teoría simultáneamente. Es precisamente con la teoría de la gravitación de Einstein en donde el concepto primario de fuerza pierde fuerza, en favor de una interpretación geométrica de las interacciones, y en donde la inercia puede explicarse de modo que resuelve el problema planteado, pero desde una teoría más compleja que contiene a la newtoniana.

Me parece que este es un buen ejemplo de cómo a partir de unas leyes simples y sencillas se pueden elaborar marcos conceptuales muy complejos cuando estas se interpretan y se tratan de analizar en detalle. Al fin y al cabo, en eso consiste la investigación en física.

La ficción epistemológica de Stanislaw Lem

Con motivo de la muerte de Stanislaw Lem preparé un texto sobre la filosofía del conocimiento presente en la obra de Lem y que apareció en un especial de Sedice.

La epistemología es la disciplina filosófica que estudia la teoría del conocimiento basada o en torno a la ciencia. Puede parecer, entonces, que una novela no sería el lugar más adecuado para encontrar reflexiones de corte epistemológico. Sin embargo no es así, y la obra de Stanislaw Lem es una muestra de ello, ya que podría decirse que la mayor parte de su obra aborda los grandes temas de la epistemología desde diferentes perspectivas.

¿Pero cuál es la teoría sobre el conocimiento de la realidad expuesta por Lem a lo largo de su producción literaria? Es difícil responder a este pregunta, aunque podría decirse que su intención principal no era tanto elaborar una teoría del conocimiento en su literatura, como una crítica, desde la narrativa, de las existentes en el ámbito de la ciencia. Y para ello Lem empleó a la propia ciencia, fundamentando su aguda y penetrante crítica en los grandes teorías de la ciencia contemporánea. Lo que no es en absoluto sorprendente si tenemos en cuenta la amplísima formación, tanto científica como humanística, de este escritor polaco.

A la hora de analizar el contenido epistemológico de la narrativa de Lem puede hacerse desde diversas perspectivas. Aquí lo haré a partir de cuatro conclusiones generales que nos permitirán tener una visión global de la teoría del conocimiento implícita en las novelas de éste.

La descripción incompleta y complementaria de la realidad

La posibilidad de que no podamos comprender en su totalidad algunos aspectos del mundo que nos rodea y que nuestras descripciones de él no se corresponden con la realidad subyacente, se encuentra en las novelas más ambiciosas de Lem en cuanto a especulación filosófica se refiere. Las ideas expuestas en ellas no parecen ser enteramente son originales, ya que todo indica que era un buen conocedor de las implicaciones filosóficas de la teoría cuántica, pero supo manejarlas lo suficientemente bien como para mostrarnos sus propios puntos de vista, que eran mucho más extremos que los de los autores en que encontró inspiración, a saber, los fundadores conceptuales de la teoría cuántica. De entre ellos habría que destacar a Niels Bohr y su principio de complementariedad. En el bloque temático en torno a la descripción incompleta de la realidad podemos considerar novelas como La investigación, La fiebre del heno y Solaris.

La importancia de las consecuencias filosóficas de la mecánica cuántica para la teoría del conocimiento en Lem se muestra claramente si se considera que la más importante conclusión de la teoría cuántica en el terreno epistemológico es la afirmación de la incompletitud de la descripción del mundo dada por la física clásica. Se podría decir, simplificando un poco, que nuestros conceptos cotidianos, en los que se basa nuestra concepción del mundo resultan erróneos o incompletos a la hora de describir la realidad del mundo microscópico. Como resultado de esta conclusión, Niels Bohr desarrolló su filosofía de la complementariedad. Según Bohr, los conceptos clásicos son incapaces de dar una descripción completa de la realidad cuántica, y debemos adoptar descripciones complementarias que expliquen parcialmente sólo algunos aspectos de la realidad cuántica, pero no en su totalidad. Estas descripciones complementarias implican descripciones en términos clásicos contradictorios entre sí, y es necesario tener en cuenta el conjunto de las descripciones complementarias para obtener una visión completa del mundo cuántico. La contradicción se evita teniendo en cuenta que cada descripción complementaria sólo puede aplicarse a cierto rango de fenómenos, y nunca sucederá que puedan aplicarse las dos descripciones complementarias, ya que cada una de ellas sólo se aplica a un rango concreto de fenómenos. El ejemplo más claro es la dualidad onda-partícula, en algunos casos podremos emplear una descripción en términos de ondas, en otros en términos de partículas, pero nunca las dos simultáneamente. Esta forma de analizar la problemática de la descripción del mundo cuántico, y en el caso de la obra de Lem del mundo en su conjunto, la encontramos en las tres novelas antes citadas, especialmente en La investigación.

A partir de la investigación policial en torno a unas misteriosas desapariciones de cadáveres, Lem teje una red de razonamientos que desarrollan de forma muy extensa una forma de complementariedad aplicada al problema planteado en la investigación policial. En este caso, las descripciones complementarias se corresponden con las explicaciones científicas y policiales de las desapariciones. Ambas explicaciones son contradictorias, las explicaciones científicas y policiales se excluyen mutuamente, y no pueden explicar por sí solas la totalidad de los acontecimientos, y para hacerlo hay que considerar ambas familias de explicaciones en su totalidad. Pero no se pueden considerar de forma simultánea, sino sólo cada una de ellas para explicar sólo una serie de los fenómenos o crímenes objeto de la investigación. Para Bohr lo importante dejan de ser entes claramente definidos del tipo de las partículas, para pasar a serlo los fenómenos y el proceso de su observación. De forma similar, para Lem lo importante es el fenómeno de la desapariciones de cadáveres en sí, no las entidades individuales vinculadas a ellas (como podrían ser los propios cuerpos, el supuesto criminal que los roba, el agente que los haría moverse, etc.) sino los fenómenos que se manifiestan en, o a través (también podría interpretarse así), de ellas. Sin embargo hay una clara diferencia entre el pensamiento de Bohr y Lem, porque el primero restringe su visión de la realidad al mundo de lo cuántico y en Lem eso se manifiesta en en el ámbito de percepción cotidiano.

Otra analogía entre los puntos de vista de Bohr y Lem, es que el físico considera que hay que hacer una descripción de los fenómenos cuánticos como fenómenos discretos sin poder establecer una continuidad, más allá de la pura asociación entre ellos, es decir no hay una continuidad ontológica, esencial, entre ellos. Y precisamente uno de los detalles más fascinantes de las desapariciones de cadáveres en la novela es que cada una es diferente, y en ningún momento podemos estar seguros que exista una clara relación causal entre todas ellas, ya que hay pequeños detalles que son diferentes en cada caso y que no pueden ser completamente explicados. No está claro, pues, que podamos asociar ontológicamente, es decir, a un nivel de realidad más fundamental, tales fenómenos. Cada caso policial parece diferente y, sin embargo, todos parecen estar relacionados. Es muy interesante tener en cuenta que, esta visión de los fenómenos como entidades individuales sin una conexión causal precisa, también aparece en el magnífico relato de Borges, Tlon, Uqbar, Orbis Tertius, autor por el que Lem parecía sentir bastante admiración.

Dados por válidos los razonamientos anteriores puede hacerse una crítica, al concepto de azar y su negación implícita en la doctrina del determinismo. Si una serie de sucesos no están causalmente conectados a un nivel fundamental (ontológico), conectados, ¿cómo podemos suponer que un suceso va a influir de forma completamente determinada, prefijada sobre otro? Éste es un viejo problema que ha surgido varias veces en la historia de la filosofía y que aún no está resuelto, al menos a partir de los actuales resultados de la ciencia. Éste es el tema que gira en torno a la trama de La fiebre del heno, sólo que dando la vuelta a la tostada y mostrando cómo a partir de hechos completamente azarosos puede establecerse una línea de continuidad causal entre diversos acontecimientos, cuando se consideran grandes colectividades de individuos. La clave de ello está en los razonamientos estadísticos del tipo de los que se denominan de los grandes números y Lem nos hace dudar de la validez tanto de nuestras concepciones de azar como de los acontecimientos, ya que nos narra la historia desde la perspectiva de uno de esos individuos. Es muy importante que en esta novela la narración no es en tercera persona, por un narrador exterior, sino que es en primera persona por parte del protagonista. Su visión subjetiva e individual contrasta con la visión colectiva que explica lo que sucede y ayuda a crear la duda que intencionadamente quería sembrar el autor en los lectores.

Para acabar con este bloque temático, comentar que también en Solaris hay un cuestionamiento de nuestra capacidad para comprender de forma completa la realidad. Éste nos viene dado a través de la descripción del fracaso de la solarística en encontrar una teoría general sobre el océano viviente de Solaris. Los largos párrafos en donde el protagonista lee los tomos sobre solarística y se nos narran las peculiaridades de la entidad Solaris son pues capitales a la hora de desarrollar esta crítica, y el tono pedante, aburrido y casino tiene una finalidad muy concreta. Todas las teorías sobre Solaris son, por principio, incompletas y sólo pueden dar cuenta de hechos parciales, de fenómenos puntuales, de configuraciones particulares del océano, por ejemplo, siendo muchas de ellas contradictorias entre sí. Esto hace que no exista ni la más remota posibilidad de establecer un programa coherente de investigación sobre el océano.

La insuficiencia de las matemáticas humanas para comprender el mundo

Sin embargo, toda esta crítica se centra en la descripción física del mundo, en la fenomenológica. Pero, ¿no podría el razonamiento puro, es decir, las matemáticas, aportar luz sobre la verdadera naturaleza de las cosas aunque no sepamos interpretarla en términos físicos puramente observacionales? Esta confianza, yo diría que fe, en las universalidad de las matemáticas -que es un prejuicio hondamente establecido en la mayoría de los científicos contemporáneos- también es puesta en duda por Lem. No parecía ser Lem un idealista platónico, ni mucho menos.

Esta crítica aparece de forma manifiesta en La voz de su amo, una de sus novelas sobre el contacto con entidades extraterrestres y quizás una de las menos conocidas. En ella se presenta el diario de un matemático que forma parte de un equipo de investigación multidisciplinar que trata de analizar un supuesto mensaje extraterrestre. Supuesto mensaje, porque en ningún momento de la narración del matemático, eminentemente autobiográfica, existe la seguridad de que el patrón regular que los científicos creen haber detectado en el fondo cósmico de neutrinos sea un mensaje. De hecho, la conclusión de la novela es tremendamente pesimista al respecto.

Ni siquiera las matemáticas nos aportan seguridad, ya que nuestras matemáticas están limitadas por la capacidad finita e imperfecta del pensamiento humano. Percibimos orden y estructura en donde quizá sólo hay un caos que por puro azar estadístico nos crea la ilusión de un orden, de un sentido. En cierto modo es lo que podría suceder con el aparente mensaje extraterrestre. Y es que sus autores se encuentran en un nivel de pensamiento radicalmente diferente y es en principio imposible obtener información valiosa sobre él, salvo quizá cierta información residual, basura matemática que en nuestra ignorancia calificamos de mensaje. La inmensidad de los procesos involucrados se manifiesta en el canal en que aparece el mensaje, los neutrinos cósmicos, que implicaría una capacidad tecnológica abrumadora.

La limitación de la ciencia humana por su carácter antropocéntrico

Toda esta crítica se fundamenta en las limitaciones intrínsecas del ser humano. El ser humano es imperfecto y, por lo tanto, su ciencia es imperfecta. Sin embargo, estas limitaciones no se encuentran sólo a un nivel ontológico profundo de la realidad, sino que podemos encontrarlas en problemas más próximos y más fáciles de resolver, como el estudio de un organismo o de una cultura extraterrestres. Sobre ello tratan todas las novelas sobre el primer contacto de Lem: Solaris, Edén, El Invencible, La voz de su amo y Fiasco. La más optimista, Edén, hace énfasis en el relativismo cultural y en la incapacidad de comprender otra cultura ajena a la nuestra, a pesar de que seamos capaces de comunicarnos de algún modo con ellos. Las más pesimistas, Solaris, El Invencible, y La voz de su amo, enfatizan en la imposibilidad de comprender algo completamente ajeno a lo humano. La más interesante de todas ellas desde tal perspectiva es Fiasco. En ella no encontramos seres extraterrestres completamente ajenos a lo humano, pues se supone que se trata de una especie biológica con un nivel tecnológico equivalente al de la Tierra, y es posible, en un principio la comunicación. Es más, en este caso existe toda una teoría científica que da cuenta con precisión el nivel de avance tecnológico y mental de una civilización de ese tipo y de sistemas de comunicación universales basados en las matemáticas. Sin embargo, el intento de comunicación acaba en un fiasco, de ahí el título de la novela, porque la forma de razonar de los extraterrestres es totalmente ajena a la humana. Es más, la razón de la ausencia de contacto se sugiere que puede ser resultado de problemáticas sociales o de conflictos en el seno de tal sociedad, ni siquiera es resultado de un barroco exotismo alienígena.

Tenemos entonces que aceptar también una limitación fundamental en nuestra ciencia por el hecho de estar construida y desarrollada por humanos; sólo puede tener en cuenta el punto de vista humano de las cosas. Esta limitación del punto de vista subjetivo las novelas “serias” de Lem pero también en las humorísticas y satíricas como las de robots o las del astronauta Tichy, quizá sugiriéndonos que tales limitaciones son algo consustancial a los seres vivos y tecnológicos, y que para superarlas de algún modo hay que trascender el nivel de percepción de la realidad en que cada una de ellas se encuentra.

La existencia de problemas que están más allá de la capacidad humana

Consideradas en conjunto las anteriores críticas epistemológicas podemos llegar fácilmente a la conclusión de que hay problemas cuya naturaleza nunca podrá ser dilucidada por el intelecto humano. Ésta es la conclusión básica de la obra cumbre de Lem, Solaris, ya que en esta novela no sólo se muestran las limitaciones de la ciencia humana para entender algo totalmente ajeno, sino que también se muestra la incapacidad que tenemos para enfrentarnos a nuestros fantasmas y demonios interiores. También hay una duda sobre la objetividad de la percepción que tenemos de los demás individuos ya que ésta no es un reflejo de lo que los demás son realmente, sino una mezcla de recuerdos, sueños y percepciones sobre los que nunca estamos seguros, no siendo capaces de distinguir cómo es realmente uno mismo y cómo son los demás. A este respecto, la reflexión psicológica de Solaris enfatiza la crítica epistemológica hasta sus últimas consecuencias. Como bien se ha comentado ya muchas veces, en Solaris no sólo se habla de nuestra incapacidad para comprender algo ajeno a nosotros, sino de la incapacidad para conocernos a nosotros mismos.

Tratando de resumir toda la exposición anterior, Stanislaw Lem desarrolla una crítica general de la ciencia, pero sobre todo de la visión cientificista y optimista de que la ciencia será capaz de desentrañar los misterios últimos de la realidad. Pero esa crítica se hace desde la propia ciencia y empleando sus propias herramientas en el marco de la literatura de ficción científica. Lem ha sido un narrador de lo epistemológico, pero también de la imperfección del ser humano en todas las facetas de su existencia y, por tanto, un referente fundamenta en la literatura fantástica del siglo XX. Y también una muestra de las cotas a que puede llegar la literatura de ciencia ficción, y la literatura en general, en el análisis de la realidad.

Los límites del conocimiento

Estos días se ha desarrollado una interesante discusión en el blog de Rudy con relación al agnosticismo y el ateísmo. Y surgió la cuestión de si el ser humano es capaz de conocerlo todo sobre la realidad, empleando para ello la razón. No tengo clara la respuesta, pero sospecho que no, hay indicios en las matemáticas y en la física de limitaciones fundamentales a la hora de poder obtener una teoría completa de la realidad. Y para mí la única forma válida de poder comprender la totalidad de la realidad es mediante el empleo de estas ciencias y la extrapolación filosófica de sus resultados. Para los más optimistas gnoseológicos aquí os dejo un enlace en donde se explica qué es la constante Omega de Chaitin. Seguramente no muchos expertos en filosofía y matemáticas coincidirán con las tesis de Chaitin, pero esto de su constante da mucho que pensar.

Fundamentación lógica de la física (Rudolf Carnap)

Durante el siglo XX el debate en la filosofía de la ciencia se planteó entre dos grandes concepciones de la labor científica, una centrada en los aspectos lógicos y formales, en la lógica de la investigación científica, y otra que hacía énfasis en la sociología de la ciencia. Un nombre destacado entre los defensores de la primera es el de Rudolf Carnap y este libro es una exposición detallada de algunas de sus ideas. Pero hay que tener en cuenta que es un libro que recoge su pensamiento más elaborado escrito a finales de los cincuenta, y por lo tanto sus tesis pueden asociarse más a lo que se ha denominado concepción heredada de la filosofía de la ciencia que a sus primeras ideas sobre el fisicalismo en la ciencia y su filosofía de las matemáticas.

Como su título indica el libro pretende dar una fundamentación lógica de la física. El libro se estructura en seis bloques temáticos. Si bien en su momento la idea de autores como Carnap de reducir la física a leyes teóricas analizables en términos de los lenguajes lógicos y leyes empíricas se mostró problemática eso no quita valor a gran parte del contenido del libro. Eso hay que tenerlo muy en cuenta.

La primera parte se centra en los diversos conceptos de probabilidad y la problemática de la inducción en la investigación científica. Establece una distinción entre una concepción lógica de la probabilidad y la estadística, lo que tiene implicaciones a la hora de analizar la inducción en física. Como suele ser habitual en este tipo de autores no menciona por ninguna parte la teoría axiomática de la probabilidad de Kolmogorov, quizá no tan apasionante filosóficamente como las otras que cita pero sí una muestra de qué problemática se plantea en las matemáticas con este esquivo concepto.

La segunda trata la estructura lógica asociada con la medición de magnitudes en física. Lo más provechoso de este capítulo es el empleo de la teoría de los conjuntos para establecer los conceptos básicos en la medición de magnitudes físicas. Un tema olvidado y que debería de ser tenido muy en cuenta física. También hace mención al operacionalismo de Brigdman curioso personaje poco conocido por la comunidad de los físicos.

Lo mejor del libro es sin duda alguna la parte que dedica a la filosofía del espacio, a cómo la física moderna trata el concepto de espacio-tiempo. Con un análisis muy completo e interesante de las implicaciones de la teoría relatividad. Para ello analiza la relatividad general teniendo en cuenta el punto de vista convencionalista de Poincaré frente a la concepción de Einstein del espacio-tiempo. Lo mejor del libro sin duda, de lectura imprescindible. Si bien estos autores adscritos a la concepción heredada y las escuelas filosóficas que los inspiraron eran algo flojos en temas de mecánica cuántica eran auténticos fieras en el análisis filosófico de las teorías clásicas, con especial énfasis en la relatividad general. De hecho estos temas nunca han sido de mayor actualidad en el seno de la física. Las teorías de la gravitación cuántica tratan sobre la propia naturaleza del espacio en sí mismo y es necesario tener en cuenta la discusión filosófica previa. El debate entre la concepción relacionista de Leibniz, la convencionalista de Poincaré y los enfoques positivistas es muy útil incluso hoy en día.

Los siguientes capítulos abordan el peliagudo tema de la causalidad y su vinculación con el determinismo. Las reflexiones de Carnap no son excesivamente originales y se limita a defender un punto de vista intermedio entre los excesos metafísicos, que tanto critica a lo largo del libro, y la negación total de la causalidad y el determinismo. Esto último no tiene mucho sentido a la vista del éxito predictivo de la ciencia. Quizá podría resumirse su punto de vista en que la existencia de un determinismo fuerte en física pero parcialmente limitado por la incertidumbre cuántica no tiene que entrar en contradicción con la libertad de elección.

La sexta parte es la que peor ha envejecido con el tiempo. Aquí es donde presenta el programa de reducción de la física a términos lógicos y empíricos, mediante la división de las leyes científicas en leyes teóricas y leyes empíricas. Para poder conectarlas hay que introducir la noción de leyes de correspondencia. Estas correspondencias vincularían conceptos teóricos como campo o electrón con los resultados de los experimentos científicos. Es aquí en donde este enfoque de la filosofía de la ciencia se mostró más débil. Es muy difícil separar en algunos casos una ley teórica de una empírica, porque en un proceso de medida hay una carga subyacente de teoría muy grande, que habitualmente no aparece de forma explícita.

El libro termina con un pequeño capítulo sobre el indetermismo en mecánica cuántica. Como comentaba los autores de esta escuela filosófica y muchos contemporáneos de educación en la física y matemática clásicas (como Popper) no tenían su punto fuerte en la teoría cuántica. Pero al menos Carnap, Nagel y Hempel eran conscientes de ello y trataban estas cuestiones con la debida modestia de aquel que se mueve en terrenos resbaladizos, pero sin renunciar a exponer sus puntos de vista. No como Popper que pretendía descubrir el chocolate del loro sin saber muy bien de lo que hablaba. En este caso Carnap no se moja mucho, aunque sí critica los excesos filosóficos cometidos en nombre del determinismo cuántico.

Si tuviese que quedarme con algo lo haría con los capítulos sobre la filosofía del espacio. Lamentablemente es un libro bastante difícil de conseguir.

Geometría y experiencia

Uno de los textos más famosos de Albert Einstein es la conferencia Geometría y experiencia, en donde expone sus ideas sobre la relación del formalismo matemático con el mundo físico. También puede considerarse como un resumen de sus principales posturas filosóficas en lo que a la Física respecta. El párrafo más importante de este texto es el siguiente:

“¿Cómo es posible que las matemáticas encajen con tanta perfección en los hechos de la realidad, siendo un producto del pensamiento humano independiente de toda experiencia?. ¿Acaso el intelecto humano puede profundizar a través del pensamiento puro, en las propiedades de los objetos reales sin ayuda de la experiencia.
Según mi opinión, esa pregunta puede responderse como sigue: cuando las proposiciones matemáticas se refieren a la realidad, no son ciertas: cuando son ciertas no hacen referencia a la realidad”

Pocas veces en la historia de la ciencia se ha dicho tanto con tan pocas palabras. A pesar de ser breve la conferencia de Einstein tiene mucha miga. La podéis encontrar en el volumen Mi visión del mundo, y creo que también en Einstein esencial, ambos en la editorial Crítica. No aparecen ecuaciones y la exposición es bastante clara y amena.

Fundamentos para una teoría general de conjuntos (Georg Cantor)

Un personaje fundamental al hablar de la fundamentación de las Matemáticas es sin duda alguna Georg Cantor. Siempre es recomendable leer alguno de los textos fundacionales de las diversas disciplinas científicas y se da la circunstancia de que en su colección de clásicos de la literatura científica la editorial Crítica ha incluido este texto de Cantor.

Cantor es un personaje fundamental en el desarrollo de las diferentes teorías de conjuntos así como por sus trabajos sobre el concepto de infinito. Sus contribuciones sirvieron para dar base a diferentes disciplinas matemáticas y para apuntalar las lógicas clásicas. Pero también es interesante por su vida agitada por las crisis nerviosas y la inestabilidad mental. Algo que queda muy bien reflejado en el volumen y que comenta muy bien el profesor José Ferreirós en su introducción.

El texto principal es el artículo Fundamentos para una teoría general de los conjuntos. En él Cantor expone su formalismo, las definiciones de números transfinitos y diferentes nociones sobre los conjuntos. El texto no se limita a la mera exposición de conceptos matemáticos sino que también presenta algunas reflexiones de tipo más filosófico sobre la realidad del infinito real frente al infinito potencial. Son muy interesantes pero ya son una muestra de que Cantor le daría posteriormente a sus infinitos un carácter ontológico que seguramente contribuyó de manera decisiva a generar la intensa oposición a sus ideas.

Para comprender un poco el contexto de las polémicas en que estaba inmerso Cantor son muy útiles la correspondencia científica del matemático, que completa este volumen. Un par de cartas con Kronecker son una muestra de ello y como Cantor se tomaba muy en serio sus polémicas con otros matemáticos. También alguna con Hilbert que luego sería uno de los mayores defensores del empleo del infinito en Matemáticas. Pero lo más jugoso está en las cartas con Dedekind, otro personaje fundamental en las teorías de conjuntos y la lógica. En ellas ya se nota claramente que Cantor estaba un poco tocado y su poco respetuoso comportamiento con Dedekind a la hora de citar sus aportaciones en sus artículos. Porque parece ser que Dedekind era un hombre bastante modesto lo cual es un gran defecto si uno se dedica a las ciencias.

Recomiendo este libro a todos aquellos que estén interesados en el tema de los fundamentos de las Matemáticas, aunque lamentablemente no es un libro para todos los públicos.

Construyendo números a partir de nada

Hace tiempo encontré en un libro de Martin Gardner una curiosa construcción de los números naturales, es decir los números N={1,2,3,…}. Posteriormente me la he encontrado en otros libros y todavía en el último libro que me he leído se cita cuando habla de John von Neumann que fue uno de los autores que la desarrollaron. Y me parece que no está mal hablar de ello aquí porque así muchos podremos ver para qué servían todas esas clases de conjuntos en la educación primaria que sufrimos los de ciertas generaciones.

Porque la teoría de conjuntos es algo bastante complejo en realidad y que guarda relación con las partes más abstractas de las Matemáticas. La noción intuitiva de conjuntos que nos enseñaron en al escuela da lugar a paradojas de compleja resolución. Pero más o menos todos tenemos la noción de lo qué es un conjunto de cosas. Y uno de los conjuntos más importantes es el llamado conjunto vacío, es decir, aquel conjunto que no posee ningún elemento. Es lo más próximo a la nada que podemos encontrar en las Matemáticas.Podemos construir los números naturales a partir del conjunto vacío del siguiente modo. Vamos a asociar cada número con un conjunto de la siguiente forma. El cero será el conjunto vacío, el uno será el conjunto que contiene al conjunto vacío porque ya tendrá un elemento, el conjunto vacío. El dos será el conjunto que incluye al cero y al uno, ya que tiene dos elementos. Y así sucesivamente. Es decir:

La verdad es que es algo que me parece muy curioso y que da mucho que pensar, pues a partir de la nada matemática se pueden construir los números por pura y simple aplicación de unas leyes simples de lógica y el concepto de conjuntos. Quizá en el fondo no seamos más que nada.

Los Lógicos (Jesús Mosterín)

Hacía tiempo que no me compraba y leía un libro de divulgación científica con interés, hasta que el otro día me topé con este en una librería. Además de uno de los pocos temas que ahora pueden intersesarme. A todo ello hay que sumar que me ha gustado bastante.No es conveniente dejarse engañar por el título ya que en realidad en él se relatan las biografías de destacados matemáticos cuyas aportaciones han sido fundamentales para el desarrollo de la Lógica Matemática y en general de la Filosofía de las Matemáticas. Frege, Cantor, Russell, von Neumann, Gödel y Turing han sido algunos de los fundadores de ese campo, aunque no los únicos como bien hace notar Mosterín. Pero está claro que son personajes muy jugosos en lo que a biografías se refiere. Y creo que también una muestra de que las personas que trabajan con la lógica no necesariamente se comportan lógicamente en su vida diaria, más bien todo lo contrario.

A la vez que el autor presenta los acontencimientos biográficos de los diferentes matemáticos a que dedica su libro asistimos a una exposición clara y amena de los principales conceptos desarrollados por ellos. Pero también a breves biografías de otros personajes vinculados a ellos o breves explicaciones del contexto social y político en donde desarrollaron su vida intelectual. Esto hace que además del carácter biográfico hay presente una introducción a las principales ideas manejadas en la fundamentación de las Matemáticas durante los principios del siglo XX. Comprensible para no especialistas, pero eso sí, que requiere del conocimiento de una nociones previas sobre algunos temas como teoría de conjuntos o lógica formal elemental. También aparecen un par de apartados sobre temas diferentes, como uno sobre las soluciones de Gödel de las ecuaciones de Einstein, o los axiomas de los espacios del Hilbert tal y como los empleaba von Neumman.

Todos los detalles técnicos están indicados en una serie de recuadros que permiten evitar su lectura sin por ello dejar de perder el hilo de la lectura. Esto me parece esencial en las obras de divulgación. En la divulgación se suele caer en el vicio de evitar la inclusión de fórmulas matemáticas o técnicas lo que me parece un error gravísimo. Siempre se han de trata introducir los conceptos más difíciles sin recurrir a ellas, pero hay que tener en cuenta diferentes niveles de lectura para diferentes tipos de lectores. No es el caso de este libro, aunque sí que es verdad que unas pocas nociones básicas hay que manejar sobre conjuntos y lógica al nivel de bachillerato. Otra cosa son los cuadros técnicos, pero como digo van a aparte y de todos modos son claros y concisos.

Pero si hay algo por lo que recomiendo la lectura es para conocer los detalles de las novelescas de estos señores. Como la novelesca vida de Russell y sus apasionadas relaciones sentimentales. O los delirios metafísicos de Cantor, su defensa de que Shakespeare no escribió sus obras y sus peleas con sus rivales académicos (la verdad es que Cantor estaba mal de la cabeza bastante antes de tener sus crisis más gordas como se desprende de sus cartas con Dedekind,je,je). Las paranoias de Gödel con su miedo a ser envenenado y a las conspiraciones internacionales, así como sus diversas maguferías como sus creencias en fantasmas y la prueba lógica de la existencia de Dios. También su famoso incidente sobre el fallo lógico de la constitución de los Estados Unidos que según él permitiría un golpe de estado o su metódica recopilación de sus ingestas de laxantes. Pero también nos encontramos con uno de los mayores ejemplos de honestidad intelectual en Frege a la vez que con un hombre muy conservador. Y cómo su homosexualidad le trajo graves problemas a Turing en un país que se pretende poner como ejemplo de democracia a imitar en tiempos tan próximos como los años cincuenta del siglo pasado.

El libro me ha gustado bastante y lo recomiendo, sobre todo si os interesan los fundamentos de las Matemáticas o las biografías de destacados científicos.