Ciencia e hipótesis (Henri Poincaré)

Poincaré es uno de los personajes más interesantes de la ciencia en los últimos dos siglos. Este genial matemático hizo aportaciones en casi todas las ramas importantes de su disciplina, pero también a la física. Pero no meras aportaciones en el desarrollo matemático de teorías, sino que lo hacía de la manera de un físico. También estaba muy interesado en las cuestiones filosóficas de fundamento de las matemáticas así como del proceso de creación en la mente del matemático. Y además escribió bastante obras de divulgación de gran calidad. Una de ellas es precisamente la que reseño ahora.

Escrito en 1902 este libro es una revisión en clave de divulgación de los grandes temas de la matemática y la física de entonces. Es una referencia muy útil para quien quiera tener una idea de cuál era el paradigma dominante en el ámbito de la física de entonces. Pero su mayor interés está en que Poincaré expone en profundidad los problemas de fundamentos con que se encontraba la física clásica y en sus argumentos ya están presentes buena parte de las ideas que darían lugar a la relatividad especial. De hecho Poincaré desarrolló una teoría relativista muy similar a la de Einstein de forma simultánea.

También es interesante su revisión de la problemática de fundamentación de la matemática que ya estaba presente entonces como resultado de los avances de la disciplina. Y lo que no ha perdido interés es la interpretación convencionalista del espacio de Poincaré. Para él el espacio que se introduce en la física no es más que resultado de una convención, y no hay un criterio objetivo que permita establecer si una geometría euclídea es más verdadera que una no euclídea con espacios con curvatura. El desarrollo de la relatividad general introdujo esta discusión en el ámbito de la física y en este contexto los argumentos de Poincaré son más interesantes si cabe.

Este libro es un clásico de la ciencia, pero también de filosofía de la ciencia, que creo que nadie interesado en el tema debería de perderse. Tenemos la suerte, además, de que están apareciendo ediciones de algunas otras de sus obras de divulgación o libros que tratan del papel de Poincaré en el desarrollo de la relatividad. Es una buena excusa para acercarse a este genial matemático y físico francés.

El teorema de Gödel (Ernst Nagel y James R. Newman)

De vez en cuando me gusta comentar libros que pueden considerarse clásicos de la literatura científica contemporánea, en uno u otro campo. Este es uno de ellos, tanto por la época que fue escrito, hace ya cincuenta años, como por su contenido. Se trata, como indica el título, de un libro que trata de explicar al profano en lógica y matemáticas los famosos resultados de Kurt Gödel sobre los fundamentos de la matemática.

Lo que demostró Gödel es que hay teoremas matemáticos que son verdaderos que no pueden ser demostrados formalmente. Ahora bien cuando se habla de demostrar formalmente esto tiene un sentido técnico preciso y para ello hay que comprender los conceptos de consistencia y completitud en la demostración matemática. También que a ese tipo de demostración se le imponen ciertas restricciones (como por ejemplo que el número de pasos en la demostración sea finito). Los autores explican paso a paso todas estas cuestiones, explicando los problemas de fundamentos que dieron lugar al teorema de Gödel.

El libro es corto y se lee de un tirón, y ciertamente los autores van al grano en sus exposiciones, sin divagaciones o elucubraciones filosóficas. El comentario de los resultados de Gödel es breve y quizás en lo que más énfasis hacen es en una interpretación correcta de los resultados tratando de evitar el equívoco en el lector. Breves comentarios sobre el punto de vista adoptado por Gödel de un platonismo matemático como respuesta a su teorema y una pequeña reflexión sobre las implicaciones en el desarrollo de inteligencias mecánicas, ponen punto final a la exposición.

A mí no me convence para nada la postura filosófica de Gödel y me encuentro mucho más cómodo con la filosofía de las matemáticas de G.J. Chaitin, que precisamente se interesó por el tema del teorema (y sus aportaciones a la matemática guardan relación con él) tras leer este libro.

Una recomendación

Uno de las cuestiones filosóficas que más me interesa últimamente es el papel del azar en la física, cómo interpretarlo y como cuantificarlo. La falta de tiempo para leer libros sobre este tema, y el no poder concentrarme en él, además de que no tengo el estado anímico adecuado, hace que no hable mucho de él en esta bitácora. Y es que es un tema muy interesante que requiere de la debida extensión para ser tratado adecuadamente. Como las herramientas matemáticas son esenciales a la hora de entender el papel del azar hoy quiero recomendaros las dos magníficas entradas que Pedro Terán ha dedicado en su blog a las diferencias entre la teoría matemática de la probabilidad y posibilidad, como formas de cuantificar la incertidumbre.

Funciones generalizadas

Muchos avances en las matemáticas que en su momento no tenían una aplicación directa fueron tiempo más tarde valiosas herramientas en el desarrollo de las teorías física. Pero también muchas veces ha sucedido a la inversa, tratando de resolver un problema procedente de la física se han desarrollado técnicas matemáticas nuevas. Uno de los casos más interesantes ha sido el de las funciones generalizadas.

Cuando el físico Paul Dirac estaba desarrollando su formalismo de la mecánica cuántica, que unificaba los existentes entonces y aportaba una base matemática rigurosa, se encontró con un problema de fundamentación de sus resultados. La correspondencia entre la física y un modelo matemática en mecánica cuántica se hace haciendo corresponder a cada estado físico un elemento de un espacio matemático abstracto conocido como espacio de Hilbert. De hecho el estado físico puede estar representado incluso por una suma infinita de elementos de ese espacio. Ahora bien, para que esa suma de lugar a un resultado inconsistente los elementos de la suma han de cumplir ciertas propiedades, que se denominan de cierre. En algunos casos estas condicionan implican un objeto conocido como delta de Dirac.

La delta de Dirac tiene algunas de las propiedades matemáticas de las funciones, aparentemente, pero es un objeto muy patológico. Físicamente se puede interpretar como una densidad infinita, por ejemplo de masa o carga eléctrica, de modo que toda la masa o carga de una partícula está concentrada por completo en un punto, y en el resto del espacio su valor es cero. Es por tanto un objeto muy singular, sin embargo cuando se calcula la integral sobre todo el espacio da el valor finito de la masa o carga concentrado en ese punto. No es casualidad que Dirac, antes de doctorarse en física matemática, hubiese estudiado ingeniería eléctrica, ya que en esta disciplina objetos de este tipo son muy útiles a la hora de describir sistemas de interés para las aplicaciones. En su momento Dirac definió una serie de propiedades para su “función”, que no es lo que en el bachillerato o los cursos de cálculo se estudia con este nombre, debido a al singularidad en el punto de densidad infinita. Estas permiten trabajar con ella sin rigor pero dando lugar a resultados consistentes.

Pero esto no es suficiente para demostrar la validez matemática de esos cálculos de forma rigurosa. Lo que es peor, parientes de este objeto aparecían con frecuencia en las teorías clásicas y cuánticas de campos. Y como he comentado en diversas aplicaciones de la ingeniería eléctrica. Así que durante los años cincuenta del pasado siglo varios matemáticos, sobre todo franceses y rusos, trataron de construir una teoría matemática rigurosa y consistente para estos objetos, que ahora se denominan funciones generalizadas. La principal ventaja que tienen es que se puede trabajar con problemas en los que existen discontinuidades. No obstante su manejo es complicado y por ejemplo el producto de dos funciones generalizadas no siempre existe (algo que en su momento tuvo su importancia a la hora de dar una fundamentación matemática rigurosa a las teorías de campos).

No obstante problemas que antes del desarrollo de la teoría requerían de complejos razonamientos y pasos al límite poco rigurosos pueden ahora plantearse de una forma mucho más sencilla y elegante. Y no ya problemas de física teórica, también hay muchos presentes en problemas de ingeniería (sobre todo en telecomunicaciones) y aplicaciones. Por ejemplo, cuando se buscan soluciones para las ecuaciones para el movimiento de las ondas de sonido o de luz en presencia de cuerpos sólidos en su seno las funciones generalizadas permiten tratar los problemas de la forma más general posible. Esto es especialmente importante en la aeroacústica, cuando se estudia la generación de ruido aerodinámico creado por superficies en movimiento. En este campo su empleo es imprescindible, y evita caer muchas veces en confusiones sobre la física de la generación y propagación del sonido. Pero como objetos matemáticos complejos y abstractos que son no siempre se emplean con el debido rigor y sabiendo pasar adecuadamente del nivel de abstracción matemática a los conceptos físicos que se utilizan para resolver cada problema.

Fundamentos para una teoría general de conjuntos (Georg Cantor)

Un personaje fundamental al hablar de la fundamentación de las Matemáticas es sin duda alguna Georg Cantor. Siempre es recomendable leer alguno de los textos fundacionales de las diversas disciplinas científicas y se da la circunstancia de que en su colección de clásicos de la literatura científica la editorial Crítica ha incluido este texto de Cantor.

Cantor es un personaje fundamental en el desarrollo de las diferentes teorías de conjuntos así como por sus trabajos sobre el concepto de infinito. Sus contribuciones sirvieron para dar base a diferentes disciplinas matemáticas y para apuntalar las lógicas clásicas. Pero también es interesante por su vida agitada por las crisis nerviosas y la inestabilidad mental. Algo que queda muy bien reflejado en el volumen y que comenta muy bien el profesor José Ferreirós en su introducción.

El texto principal es el artículo Fundamentos para una teoría general de los conjuntos. En él Cantor expone su formalismo, las definiciones de números transfinitos y diferentes nociones sobre los conjuntos. El texto no se limita a la mera exposición de conceptos matemáticos sino que también presenta algunas reflexiones de tipo más filosófico sobre la realidad del infinito real frente al infinito potencial. Son muy interesantes pero ya son una muestra de que Cantor le daría posteriormente a sus infinitos un carácter ontológico que seguramente contribuyó de manera decisiva a generar la intensa oposición a sus ideas.

Para comprender un poco el contexto de las polémicas en que estaba inmerso Cantor son muy útiles la correspondencia científica del matemático, que completa este volumen. Un par de cartas con Kronecker son una muestra de ello y como Cantor se tomaba muy en serio sus polémicas con otros matemáticos. También alguna con Hilbert que luego sería uno de los mayores defensores del empleo del infinito en Matemáticas. Pero lo más jugoso está en las cartas con Dedekind, otro personaje fundamental en las teorías de conjuntos y la lógica. En ellas ya se nota claramente que Cantor estaba un poco tocado y su poco respetuoso comportamiento con Dedekind a la hora de citar sus aportaciones en sus artículos. Porque parece ser que Dedekind era un hombre bastante modesto lo cual es un gran defecto si uno se dedica a las ciencias.

Recomiendo este libro a todos aquellos que estén interesados en el tema de los fundamentos de las Matemáticas, aunque lamentablemente no es un libro para todos los públicos.

Construyendo números a partir de nada

Hace tiempo encontré en un libro de Martin Gardner una curiosa construcción de los números naturales, es decir los números N={1,2,3,…}. Posteriormente me la he encontrado en otros libros y todavía en el último libro que me he leído se cita cuando habla de John von Neumann que fue uno de los autores que la desarrollaron. Y me parece que no está mal hablar de ello aquí porque así muchos podremos ver para qué servían todas esas clases de conjuntos en la educación primaria que sufrimos los de ciertas generaciones.

Porque la teoría de conjuntos es algo bastante complejo en realidad y que guarda relación con las partes más abstractas de las Matemáticas. La noción intuitiva de conjuntos que nos enseñaron en al escuela da lugar a paradojas de compleja resolución. Pero más o menos todos tenemos la noción de lo qué es un conjunto de cosas. Y uno de los conjuntos más importantes es el llamado conjunto vacío, es decir, aquel conjunto que no posee ningún elemento. Es lo más próximo a la nada que podemos encontrar en las Matemáticas.Podemos construir los números naturales a partir del conjunto vacío del siguiente modo. Vamos a asociar cada número con un conjunto de la siguiente forma. El cero será el conjunto vacío, el uno será el conjunto que contiene al conjunto vacío porque ya tendrá un elemento, el conjunto vacío. El dos será el conjunto que incluye al cero y al uno, ya que tiene dos elementos. Y así sucesivamente. Es decir:

La verdad es que es algo que me parece muy curioso y que da mucho que pensar, pues a partir de la nada matemática se pueden construir los números por pura y simple aplicación de unas leyes simples de lógica y el concepto de conjuntos. Quizá en el fondo no seamos más que nada.

Los Lógicos (Jesús Mosterín)

Hacía tiempo que no me compraba y leía un libro de divulgación científica con interés, hasta que el otro día me topé con este en una librería. Además de uno de los pocos temas que ahora pueden intersesarme. A todo ello hay que sumar que me ha gustado bastante.No es conveniente dejarse engañar por el título ya que en realidad en él se relatan las biografías de destacados matemáticos cuyas aportaciones han sido fundamentales para el desarrollo de la Lógica Matemática y en general de la Filosofía de las Matemáticas. Frege, Cantor, Russell, von Neumann, Gödel y Turing han sido algunos de los fundadores de ese campo, aunque no los únicos como bien hace notar Mosterín. Pero está claro que son personajes muy jugosos en lo que a biografías se refiere. Y creo que también una muestra de que las personas que trabajan con la lógica no necesariamente se comportan lógicamente en su vida diaria, más bien todo lo contrario.

A la vez que el autor presenta los acontencimientos biográficos de los diferentes matemáticos a que dedica su libro asistimos a una exposición clara y amena de los principales conceptos desarrollados por ellos. Pero también a breves biografías de otros personajes vinculados a ellos o breves explicaciones del contexto social y político en donde desarrollaron su vida intelectual. Esto hace que además del carácter biográfico hay presente una introducción a las principales ideas manejadas en la fundamentación de las Matemáticas durante los principios del siglo XX. Comprensible para no especialistas, pero eso sí, que requiere del conocimiento de una nociones previas sobre algunos temas como teoría de conjuntos o lógica formal elemental. También aparecen un par de apartados sobre temas diferentes, como uno sobre las soluciones de Gödel de las ecuaciones de Einstein, o los axiomas de los espacios del Hilbert tal y como los empleaba von Neumman.

Todos los detalles técnicos están indicados en una serie de recuadros que permiten evitar su lectura sin por ello dejar de perder el hilo de la lectura. Esto me parece esencial en las obras de divulgación. En la divulgación se suele caer en el vicio de evitar la inclusión de fórmulas matemáticas o técnicas lo que me parece un error gravísimo. Siempre se han de trata introducir los conceptos más difíciles sin recurrir a ellas, pero hay que tener en cuenta diferentes niveles de lectura para diferentes tipos de lectores. No es el caso de este libro, aunque sí que es verdad que unas pocas nociones básicas hay que manejar sobre conjuntos y lógica al nivel de bachillerato. Otra cosa son los cuadros técnicos, pero como digo van a aparte y de todos modos son claros y concisos.

Pero si hay algo por lo que recomiendo la lectura es para conocer los detalles de las novelescas de estos señores. Como la novelesca vida de Russell y sus apasionadas relaciones sentimentales. O los delirios metafísicos de Cantor, su defensa de que Shakespeare no escribió sus obras y sus peleas con sus rivales académicos (la verdad es que Cantor estaba mal de la cabeza bastante antes de tener sus crisis más gordas como se desprende de sus cartas con Dedekind,je,je). Las paranoias de Gödel con su miedo a ser envenenado y a las conspiraciones internacionales, así como sus diversas maguferías como sus creencias en fantasmas y la prueba lógica de la existencia de Dios. También su famoso incidente sobre el fallo lógico de la constitución de los Estados Unidos que según él permitiría un golpe de estado o su metódica recopilación de sus ingestas de laxantes. Pero también nos encontramos con uno de los mayores ejemplos de honestidad intelectual en Frege a la vez que con un hombre muy conservador. Y cómo su homosexualidad le trajo graves problemas a Turing en un país que se pretende poner como ejemplo de democracia a imitar en tiempos tan próximos como los años cincuenta del siglo pasado.

El libro me ha gustado bastante y lo recomiendo, sobre todo si os interesan los fundamentos de las Matemáticas o las biografías de destacados científicos.